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什么是神经网络？
首先我们来看百度对神经网络的定义：
人工神经网络（Artificial Neural Network，即 ANN），是 20 世纪 80 年代以来人工智能领域兴起的研究热点。它从信息处理角度对人脑神经元网络进行抽象，建立某种简单模型，按不同的连接方式组成不同的网络。在工程与学术界也常直接简称为神经网络或类神经网络。神经网络是一种运算模型，由大量的节点（或称神经元）之间相互联接构成。每个节点代表一种特定的输出函数，称为激励函数（activation function）。每两个节点间的连接都代表一个对于通过该连接信号的加权值，称之为权重，这相当于人工神经网络的记忆。网络的输出则依网络的连接方式，权重值和激励函数的不同而不同。而网络自身通常都是对自然界某种算法或者函数的逼近，也可能是对一种逻辑策略的表达。
顾名思义，神经网络就是尝试模拟大脑神经元的工作，完成完成信息处理和模式识别等任务，如图像识别，语音识别等等。这些任务对大脑而言是显而易见的，但在计算机科学和机器学习领域，却是非常复杂和具有挑战性的。因为没有一个程序能直接编写出模拟神经元的复杂功能，因此研究人员通过设计和训练神经网络来近似模拟这些功能。
神经网络是如何进行识别的？
为了说明这个问题，我们引入猫狗分类（即 二分类）这种简单的问题，看看它是如何工作的。
这里有两张黑白的猫狗图片，它们的像素 256×256，想象一下你的大脑是如何分辨这两张图片。
首先，大脑会通过视觉感知来识别图像的不同特征，比如猫的耳朵和胡须，狗的鼻子和嘴巴等。根据这些特征，大脑会给出猫或者狗的相似度（一个值：0%~100%），最终给出我们的判断：是猫还是狗。
同理，神经网络也应该具有类似的结构，能够提取和识别图像特征，并最终给出各种分类的相似度（在本例中只有两类，即猫或者狗）。
接着我们给出猫狗识别的简单的神经网络结构（这里采用的是全连接神经网络FCNN，而并非CNN）。
如果你曾经了解过神经网络，你应该对下面的图很熟悉。
但如果你是第一次见，也没关系，我将以猫狗识别为例子，解释这张图每一项的具体含义。
首先，我们将图片展开，将图片的每一行拼接到一起，形成了 256*256=65536 个像素点组成的列，我们称该列中的每个元素为一个 神经元 ，并称该列为 输入层（即输入图片的数据）。
很明显，它共有 256*256=65536 个神经元，可以暂时将它想象成我们眼睛的感光细胞，向我们大脑传输了最原始图片信息。现假设每个神经元有一个范围为 0.0~1.0 的感光数据（神经元的数据称为 激活值），代表该像素点的亮度值，越接近 1.0 说明该像素点越亮，反之越暗。
为了识别该图片是猫还是狗，大脑会识别各种特征，如该动物的眼睛，鼻子，耳朵等等。因此我们还需要 隐藏层（可以不止一层，这里为了方便从一层讲起），用于模仿大脑识别图片的各种特征。
如上图所示，同样为了方便，我们只为隐藏层的设定三个神经元，假设其分别代表三个特征的相似度：狗的耳朵、猫的耳朵和猫的眼睛（在真实的神经网络中，往往是黑箱模型，即我们并不知道哪个神经元对应了哪些特征）。
根据隐藏层神经元的相似度值，我们就能计算出猫和狗的概率。拥有越多猫的特征，那么其越可能是猫，反之为狗。这里是二分类问题，因此我们通常使用 softmax 函数 将输出概率控制到 0.0~1.0 区间内，方便判断。上图所示的输出中，有 0.9 的概率为猫，有 0.1 的概率为狗。
那么这些线又是干啥的呢？
这些线代表了上一层数据的流向，即下一层的数据是根据哪些上层数据计算得来的。
用数学表达式来描述神经网络结构
看完上一章节，想必你已经了解了神经网络的大致原理和结构，那么我们现在来讨论一下每一层神经元的值是如何得到的。此外，在本章节我们还要讨论如何用数学表达式来描述该结构。
注意：本章节需要用到线性代数的知识，如果不知道矩阵是什么，那还是先去百度上了解一下吧。
输入层到隐藏层神经元激活值的计算
我们假设输入层的神经元激活值分别为 x_1,x_2,x_3,\cdots,x_{65535}，则可以用矩阵：
X=
\begin{pmatrix}
x_1 & x_2 & x_3 & \cdots & x_{65535} \\
\end{pmatrix}其中 X 表示输入的值。
同理，又输入层变换得到的隐藏层的所有激活值可表示为矩阵：
H=
\begin{pmatrix}
h_1 & h_2 & h_3 \\
\end{pmatrix}
图中的每一条线都代表乘以一个 权重(Weight)，如w_{11}。那么隐藏层第一个神经元的激活值可以由以下公式计算：
h_0=w_{1,1}*x_0+w_{2,1}*x_1+w_{3,1}*x_2+\cdots+w_{65536,1}*x_{65535}为了保证数值尽量在 0.0~1.0（为了方便计算）之间，我们还引入了 偏差 (Bias)，如 $$b_1$$。同时再加上激活函数，这里采用Sigmoid，用\sigma(x) 表示：
\sigma(x)=\frac{1}{1+e^{-x}}此时：
h_0=\sigma(w_{1,1}*x_0+w_{2,1}*x_1+w_{3,1}*x_2+\cdots+w_{65536,1}*x_{65535}+b_1)那么对于所有的 h_i(i=1,2,3) 如何表示呢？聪明的你肯定发现了，可以用矩阵来表示 权重 (W) 和偏差(B)：
W=
\begin{pmatrix}
w_{1,1} & w_{1,2} & w_{1,3} \\
w_{2,1} & w_{2,2} & w_{2,3} \\
\vdots & \vdots & \vdots \\
w_{65536,1} & w_{65536,2} & w_{65536,3} \\
\end{pmatrix}B=
\begin{pmatrix}
b_1 & b_2 & b_3 \\
\end{pmatrix}好了，很明显，由矩阵的乘法我们可以得到：
H=\sigma(X \cdot W + B)这样我们就完美的解决了输入层到隐藏层激活值的计算问题。
每一层之间的公式关系
根据输入层到隐藏层之间的公式关系，我们可以仿照着推出隐藏层到输出层之间的关系。
设输出的两个值 y_0,y_1 分别代表该图片的动物是猫和是狗的概率（显然概率范围在 0.0~1.0 之间），我们用矩阵表示：
Y=
\begin{pmatrix}
y_0 & y_1 \\
\end{pmatrix}在这里为了保证 y_0,y_1 在 0.0~1.0 之间，我们采用softmax 函数，引入权重和偏差，则：
Y=softmax(W' \cdot H + B')其中权重和偏置分别为：
W'=
\begin{pmatrix}
w_{1,1} & w_{1,2} \\
w_{2,1} & w_{2,2} \\
w_{3,1} & w_{3,2} \\
\end{pmatrix}B'=
\begin{pmatrix}
b_1 & b_2 & b_3 \\
\end{pmatrix}那么我们此时就得到了从输入层到输出层的完整函数表达式：
Y=softmax(W' \cdot \sigma(X \cdot W + B) + B')权重和偏差的确定和意义
根据上述的公式，我们给出输入的图片，就能得到输出猫或者狗的概率。要保证输出结果的正确性，那么必须确定参数 W,B,W',B'。
我们要知道，确定神经网络中的权重和偏差是一项至关重要的任务，因为这些参数直接影响模型的性能和准确度。通常，这些参数是通过一种称为 训练（training） 的过程来确定的。在这个过程中，我们使用大量的已知标签（如已知是猫或狗的图片）来调整网络的参数，使得网络的输出尽可能接近实际标签。
这些调整的过程通常涉及到以下几个步骤（在这里由于只是介绍，就不在过多赘述，将在以后的章节中详细解释）：
-
前向传播（Forward Propagation）
前向传播是指从输入层开始，通过隐藏层，直到输出层的计算过程。在每一层中，神经元的激活值会被计算出来，并传递到下一层，直到最终得到输出。 -
损失函数（Loss Function）
损失函数用来衡量模型的预测值与实际值之间的差异。在猫狗分类问题中，常用的损失函数是交叉熵损失（Cross-Entropy Loss）。 -
反向传播（Backpropagation）
反向传播是调整权重和偏差的关键步骤。通过计算损失函数相对于每个参数的梯度，我们可以知道如何调整这些参数以减少损失。具体来说，反向传播使用链式法则（Chain Rule）来计算梯度，然后根据这些梯度更新参数。更新规则通常是使用梯度下降算法（Gradient Descent Algorithm）。 -
梯度下降算法（Gradient Descent Algorithm）
梯度下降算法是通过迭代来逐步优化损失函数。具体来说，它会计算每个参数的梯度，然后沿着梯度的反方向更新参数，以减小损失。
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